ระบบสมการเชิงเส้นคืออะไร


[ ขยายดูภาพใหญ่ ]

สมการที่มีตัวแปรเดียวก็สามารถแก้ได้โดยวิธีกราฟ เช่น ถ้าต้องการแก้สมการ 2x + 3 = 5 ซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการ 2x - 2 = 0 (นำ 5 มาลบทั้งสองข้างของเครื่องหมาย =) เราเพิ่มตัวแปร y ขึ้นมาอีกหนึ่งตัว โดยกำหนดให้ 2x -2 = y

สมการนี้เป็นสมการที่มีตัวแปรสองตัว คำตอบของสมการ 2x - 2 = y คือทุกจุดที่อยู่บนเส้นตรงสีแดง ค่าของ x ที่ทำให้ y เป็น 0 เป็นคำตอบของสมการ 2x-2 =0 จุดบนกราฟที่ y เป็น 0 คือจุดที่กราฟตัดแกนนอน เส้นตรงนี้ตัดแกนนอนที่จุด (1,0)

เราจึงสรุปได้ว่า 1 เป็นคำตอบของสมการ 2x - 2 = 0

หรือสมการ 2x + 3 = 5

สมการ x2 - 2x = 3 มีคำตอบเหมือนสมการ x2 - 2x - 3 = 0 เราแก้ได้โดยเขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ x2 - 2x - 3 = y (เส้นโค้งสีน้ำเงินในรูป) ค่าของ x ที่ทำให้ y เป็น 0 เป็นคำตอบของสมการ x2 - 2x - 3 = 0 จุดบนกราฟที่ y เป็น 0 คือจุดที่กราฟตัดแกนนอนได้แก่จุด (-1,0) และ (3,0)

เราจึงสรุปว่า -1 กับ 3 เป็นคำตอบของสมการ x2 - 2x - 3 = 0 หรือ x2 - 2x = 3

ในการแก้สมการ x2 - 2x + 2 = 0 เราเขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ x2 - 2x + 2 = y จะพบว่ากราฟนั้นไม่ตัดแกนนอน แสดงว่า จุด (x,0) ไม่อยู่บนกราฟ ดังนั้น (x,0) ไม่ใช่คำตอบของสมการ x2 - 2x + 2 = y นั่นคือไม่ว่า x จะแทนจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม x2 - 2x + 2 ไม่เท่ากับ 0 เราจึงสรุปได้ว่าสมการ x2 -2x + 2 = 0 ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

บางทีเราพบโจทย์บางประเภท เช่น "ชาวนาคนหนึ่งเลี้ยงหมูและไก่ ถ้านับหัวของสัตว์เหล่านี้จะได้ 20 หัว ถ้านับขาจะได้ 50 ขา ถามว่าเขามีหมูและไก่อย่างละกี่ตัว

ถ้าให้ x แทนจำนวนหมู และ y แทนจำนวนไก่ เราจะได้สมการ 2 สมการคือ

x + y = 20 (จำนวนหัว)

4x + 2y = 50 (จำนวนขา)

เราต้องการหาค่าของ x และ y ซึ่งเมื่อนำไปแทนในสมการทั้งสองแล้วจะได้ข้อความจริงทั้งคู่ ในกรณีนี้ ถ้าแทน x ด้วย 5 และแทน y ด้วย 15 ในสมการทั้งคู่ จะได้ข้อความจริง เราจึงพูดว่า (5, 15) เป็นคำตอบของ ระบบสมการ (system of equations) ข้างต้น สมการทั้งสองเป็นสมการเชิงเส้นทั้งคู่ เราจึงเรียก ระบบสมการนี้ว่า ระบบสมการเชิงเส้น (system of linear equations)

 

ตัวอย่างของการแก้ปัญหาระบบอสมการเชิงเส้นที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมบางอย่าง

สวนขนัดหนึ่งมีพื้นที่สำหรับปลูกทุเรียนได้ 30 ต้น เจ้าของสวนต้องการปลูกทุเรียน 2 พันธุ์คือ ชะนี และ รวง การปลูกใช้กิ่งทาบ ชะนีราคากิ่งละ 25 บาท รวงราคากิ่งละ 10 บาท ชะนีจะให้ผลในเวลา 7 ปี รวงให้ผลในเวลา 5 ปี ชะนีให้ผลประมาณ 25 ผลต่อต้น ส่วนรวงให้ผลประมาณ 50 ผลต่อต้น ชะนีขายได้ โดยเฉลี่ยผลละ 45 บาท รวงขายได้โดยเฉลี่ยผลละ 20 บาท หลังจากทุเรียนให้ผลเต็มที่แล้ว ชาวสวนต้องการมีรายได้ประจำปีจากการขายทุเรียนมากที่สุด เขาควรปลูกทุเรียนอย่างละกี่ต้นถ้าเขามีงบประมาณค่าซื้อกิ่งเพียง 500 บาท

สมมุติว่าจะปลูกชะนี x ต้น และรวง y ต้น จะได้เงื่อนไขต่อไปนี้ คือ

(1) x + y 30 (จำนวนต้น)

(2) 25x + 10y 500 (งบประมาณค่ากิ่ง)

ภายใต้เงื่อนไขสองข้อนี้ เขาต้องการให้รายได้ประจำปีสูงสุด ชะนีจะให้รายได้ต้นละ 1,125 บาทต่อปี รวงจะให้รายได้ต้นละ 1,000 บาทต่อปี ดังนั้น หลังจากที่ทุเรียนทุกต้นให้ผลเต็มที่แล้ว เขาจะมีรายได้ 1125x + 1000y บาทต่อปี

ฉะนั้น เราต้องการหาค่า x และ y ที่เป็นไปตามเงื่อนไขข้อ (1) และข้อ (2) และทำให้ 1125x + 1000y มีค่าสูงสุดด้วย นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขที่ละไว้ในฐานที่เข้าใจอีกด้วยว่า x และ y ต้องแทนจำนวนเต็มซึ่งไม่น้อยกว่า 0 เนื่องจาก x และ y แทนจำนวนต้นไม้

ถ้าปริมาณๆ หนึ่ง ตัวแปรที่ปรากฏในปริมาณนั้นมีเลขชี้กำลังเป็น 1 และตัวแปรไม่คูณกันเลย การหาคำตอบซึ่งทำให้ปริมาณนั้นมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ภายใต้เงื่อนไขที่เขียนได้ในรูปอสมการเชิงเส้น เราเรียกว่า กำหนดการเชิงเส้น